The Lebesgue constant for Lagrange interpolation in the simplex
type: Item
instance of: scholarly article
title: The Lebesgue constant for Lagrange interpolation in the simplex
zbMATH Open document ID: 0705.41002
DOI: 10.1016/0021-9045(88)90010-X
author: Thomas Bloom
published in: Journal of Approximation Theory
publication date: 1988-01-01T00:00:00Z
review text: Betrachtet wird das Problem der Lagrange-Interpolation auf einer kompakten Menge \(X\subset {\mathbb{R}}^ k\) mit Stützstellen \(A_ i\in X\). Sei \(\pi^ k_ d\) die Menge von Polynomen mit Grad kleiner oder gleich d in k Variablen und \(T(d,k)=\dim \pi^ k_ d\). Seien \(\ell_{dv}\in \pi^ k_ d\) die Polynome mit \(\ell_{dv}(A_ i)=\delta_{vi}\), für \(i,v=1,..,T(d,k)\). Die Lebesgue-Funktion ist definiert durch \(\lambda_ d(x):=\sum^{T(d,k)}_{v=1}| \ell_{dv}(x)|,\) die Lebesgue-Konstante durch \(\Lambda_ d:=\sup_{x\in X}\lambda_ d(x)\). Die Arbeit beschränkt sich zunächst auf \(k=2\) Variable sowie auf äquidistant verteilte Stützstellen im Einheitssimplex \(\Delta\). Der Autor leitet eine explizite Formel für \(u(x)=\limsup_{d\to \infty}(1/d)\log \lambda_ d(x_ 1,x_ 2)\) sowie für \(M=\lim_{d\to \infty}(1/d)\log \Lambda_ d\) her \((M=\log 2)\). Es gilt für \((x_ 1,x_ 2)\in Int(\Delta):\) \[ \limsup_{d\to \infty}(1/d)\log \lambda_ d(x_ 1,x_ 2)=\max (F(x_ 1),F(x_ 2),F(1-x_ 1-x_ 2)) \] mit \(F(t)=t \log t+(1-t)\log (1-t)+\log 2\). Für \((x_ 1,x_ 2)\in Bd(\Delta)\) gilt: \[ \limsup_{d\to \infty}(1/d)\log \lambda_ d(x_ 1,x_ 2)\leq \max (F(x_ 1),F(x_ 2),F(1-x_ 1-x_ 2)). \] Ferner wird auf analoge Resultate im \({\mathbb{R}}^ k\) (k\(\geq 2)\) hingewiesen.
Mathematics Subject Classification ID: 41A05
Mathematics Subject Classification ID: 41A63
zbMATH DE Number: 4157167
zbMATH Keywords: Lebesgue function
zbMATH Keywords: Lebesgue constant
zbMATH Keywords: Lagrange-Interpolation
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 4157167