Sur les transformations conformes des variétés riemanniennes à bord. (On conformal transformations of Riemannian manifolds with boundary)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur les transformations conformes des variétés riemanniennes à bord. (On conformal transformations of Riemannian manifolds with boundary)
zbMATH Open document ID: 0706.53026
DOI: 10.1016/0022-1236(90)90057-R
author: Hichem Hamza
published in: Journal of Functional Analysis
publication date: 1990-01-01T00:00:00Z
review text: L'auteur étudie le problème de Cherrier: soient \((M_ n,g)\) une variété riemannienne compacte \(C^{\infty}\) de bord B, R la courbure scalaire de M, h la courbure moyenne de B; il s'agit de déterminer une métrique conforme à g, pour laquelle la courbure scalaire de M et la courbure moyenne de B sont des fonctions prescrites \(R'\) et \(h'\). Traduit en termes d'analyse, cela consiste à résoudre une équation non linéaire (E), avec des conditions de Neumann non linéaires au bord: \(\Delta \phi +R=R'e^{\phi}\) dans M et \(d\phi /d\nu +2h=2h'e^{\phi /2}\) sur B, si \(n=2\) 4((n-1)/(n-2))\(\Delta\phi\) \(+R\phi =R'\phi^{(n+2)/(n-2))}\) dans \(M,\) (2/(n-2))(d\(\phi\) /d\(\nu\))\(+h\phi =h'\phi^{n/(n-2)}\) sur B et \(\phi >0\) si \(n\geq 3.\) L'auteur s'intéresse aux cas où M est l'hémisphère de la sphère \(S_ n\), ou la boule euclidienne \(D_ n\). Ces cas apparaissent comme limites, (E) étant alors non localement inversible. L'analogue sans bord est la généralisation du problème de Yamabe proposé par Nirenberg sur \(S_ n.\) Il met en évidence des conditions d'intégrabilité analogues à celles de Kazdan-Warner pour la sphère. Il calcule les meilleures constantes dans certaines inégalités nécessaires pour résoudre le problème; dans ces inégalités interviennent \(\int_{M}e^{\phi} dv\) et \(\int_{S_{n-1}}d^{\phi} ds\) (au sens des traces) quand \(\phi \in H^ n_ 1(M)\) vérifie certaines conditions d'orthogonalité. La méthode utilisée est très ingénieuse. Puis il obtient des théorèmes analogues à ceux de Fredholm, mais en non-linéaire. Pour la démonstration il utilise une équation approchée et un passage à la limite très habile où il utilise ses conditions d'intégrabilité.
Mathematics Subject Classification ID: 53C20
zbMATH DE Number: 4159565
zbMATH Keywords: prescribed scalar curvature
zbMATH Keywords: Yamabe problem
zbMATH Keywords: mean curvature
zbMATH Keywords: boundary
reviewed by: Thierry Aubin
MaRDI profile type: Publication
cites work: Problèmes isoperimetriques et espaces de Sobolev
cites work: Equations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire
cites work: Meilleures constantes dans le théorème d'inclusion de Sobolev et un théorème de Fredholm non linéaire pour la transformation conforme de la courbure scalaire
cites work: Q3049274
cites work: Problèmes de Neumann non linéaires sur les variétés riemanniennes
cites work: Q3338984
cites work: Q3818662
cites work: Curvature functions for compact 2-manifolds
cites work: Scalar curvature and conformal deformation of Riemannian structure
description: scientific article; zbMATH DE number 4159565