Fourier hyperfunctions of general type
Sei \(D^ n\) die radiale Kompaktifizierung von \({\mathbb{R}}^ n\) [\textit{T. Kawai}, J. Fac. Sci. Tokyo, Sect. I A 17, 467-517 (1970; Zbl 0212.461)], \(E^ n\) die radiale Kompaktifizierung von \({\mathbb{C}}^ n={\mathbb{R}}^{2n}\) und \({\tilde {\mathbb{C}}}^ n=D^ n\times i{\mathbb{R}}^ n\) und für \(n=(n_ 1,n_ 2,n_ 3)\) sei \(K^ n={\mathbb{C}}^{n_ 1}\times {\tilde {\mathbb{C}}}^{n_ 2}\times E^{n_ 3}\). Auf K wird die Garbe \({\mathcal O}_*\) durch die Prägarbe \({\mathcal O}_*(\Omega)\) aller auf \(\Omega \cap {\mathbb{C}}^{| n|}\) holomorphen Funktionen f mit der Eigenschaft, daß für jedes \(K\subset \subset \Omega\) ein \(\delta >0\) existiert mit \[ \sup \{| f(z)| \exp (\delta (| z''| +| z'''|)),\quad z\in K\cap {\mathbb{C}}^{| n|}\}<\infty. \] Wie üblich ist \({\mathcal O}_*(K)=\lim ind {\mathcal O}_*(U)\), \(U\supset K\) für kompakte K in K, \({\mathcal O}_*(K)\) ist ein nuklearer DFS-Raum. Auf \(Y^ n={\mathbb{R}}^{n_ 1}\times D^{n_ 2}\times D^{n_ 3}\) wird die Garbe der reell-analytischen schnell fallenden Funktionen \({\mathcal A}_*\) durch \({\mathcal A}_*={\mathcal O}_*| Y^ n\) definiert. Für die Elemente von L(\({\mathcal A}'_*(Y^ n),E)\), E ein Fréchet-Raum, läßt sich ein Träger mit den üblichen Eigenschaften definieren. Dies gestattet es, mit der Methode von \textit{A. Martineau} [Sem. Bourbaki \(13^ e\) année 1960/61, No.214, 1-13 (1961; Zbl 0122.349)] eine welke Garbe \({\mathcal M}\) auf \(Y^ n\) zu definieren, deren Schnitte über einer kompakten Menge K gerade die Elemente von L(\({\mathcal A}_*(K),E)\) sind, \({\mathcal M}\) ist die Garbe der Fourier-Hyperfunktionen von allgemeinem Typ und ergibt in Spezialfällen alle bekannten Arten von Hyperfunktionen. Im dritten Kapitel werden die üblichen Operationen wie Multiplikation, Faltung, Tensorprodukt und Fourier-Transformation betrachtet und ein Kern-Satz und ein Satz von Paley-Wiener-Typ bewiesen.
scientific article; zbMATH DE number 4169427
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