Ein Apartment für eine Geometrie der sporadischen einfachen Gruppe He. (An apartment for a geometry of the sporadic simple group He)
Sei \(\Gamma\) die Tits-Buekenhout-Geometrie der Titelgruppe G zu den maximalen Untergruppen \(G_ 0\), \(G_ 1\), \(G_ 2\) mit \(G_ 0\cong Sp(4,4):2\) und \(G_ i\cong E_{64}<Z_ 3>\Sigma_ 6\) für \(i=1,2\). Ferner seien \(G_ 1\) und \(G_ 2\) so gewählt, daß \(O_ 2(G_ i)\) in einer gemeinsamen \(S_ 2\)-Untergruppe von \(G_ 0\) liegen für \(i=1,2\). Dann besitzt \(\Gamma =(S,*,t)\) ein geschlossenes Diagramm, bei welchem zwei Residuen mit jeweils Gonalität 3 und Durchmessern 3 und 4 isomorph sind und eines ein verallgemeinertes Viereck ist; hierbei bezeichnet S die Elemente, * die Inzidenzrelation und t die Typfunktion von \(\Gamma\) mit in naheliegender Weise definierten S, * und t. Die Geometrie \(\Gamma\) wurde von Buekenhout und Kantor angegeben; siehe [4] des Literaturverzeichnisses. Die Autorin beweist folgenden Satz: Die Geometrie \(\Gamma\) is transversal, firm und residuell zusammenhängend, und die Gruppe G operiert transitiv auf Cham(\(\Gamma\)). Sei H eine Untergruppe (Cartan-Untergruppe von Sp(5,4)) der Ordnung \(3^ 2\) von \(G_ 0\cap G_ 1\cap G_ 2\) und N der Normalisator von H in G. Sei \(S_ A=ccl_ N(G_ 0)\cup ccl_ N(G_ 1)\cup ccl_ N(G_ 2)\), sei \(*_ A\) die Einschränkung von * auf \(S_ A\times S_ A\) und \(t_ A\) die Einschränkung von t auf \(S_ A\). Dann ist die Untergeometrie \(A=(S_ A,*_ A,t_ A)\) von \(\Gamma\) ein reguläres Apartment von \(\Gamma\) mit \(Stab_ G(A)=N\). Hier ist ein Apartment von \(\Gamma\) eine dünne Untergeometrie von \(\Gamma\), die den gleichen Coxeter-Graphen wie \(\Gamma\) besitzt.
scientific article; zbMATH DE number 4171202