Resolution of degree \(\leq 6\) algebraic equations by genus two theta constants
Nachdem feststand, daß die Auflösung der Gleichung \(n\)-ten Grades durch Wurzelzeichen im allgemeinen nicht über den Grad 4 hinaus möglich ist, mußten transzendente Funktionen für dieses Problem herangezogen werden. Elliptische Modulfunktionen erwiesen sich als geeignet. Eine allgemeine Lösung erfolgte durch \textit{H. Umemura} in [\textit{D. Mumford}, Tata Lectures on Theta II, Birkhäuser, Boston (1984; Zbl 0549.14014)], der die Lösungen durch Thetafunktionen darstellte, deren Parameter noch gewissen Relationen genügen mußten. Der Verf. konzentriert sich auf die Gleichung 6. Grades, deren Wurzeln er durch Thetafunktionen zur Siegelschen Modulgruppe zweiten Grades, abhängig von Parametern ohne zusätzliche Relationen, darstellt, mit Spezialisierungen auf die Grade 5, 4 und 3. Ähnliche Formeln sind kürzlich auch von \textit{J. Guardia} [J. Algebra 253, 112--132 (2002; Zbl 1054.14041)] entwickelt worden. Außerdem wird die Monodromiegruppe der allgemeinen Gleichung 6. Grades bestimmt, die sich als Kongruenzgruppe \(\Gamma(2)\) der symplektischen Gruppe \(Sp_4({\mathbb{F}}_2)\) herausstellt.
scientific article; zbMATH DE number 5343294