Transcendence measures for continued fractions involving repetitive or symmetric patterns
Das kombinatorische Transzendenzkriterium von \textit{S. Ferenczi} und \textit{C. Mauduit} [J. Number Theory 67, 146--161 (1997; Zbl 0895.11029)] wurde von Verff. und \textit{F. Luca} [C. R. Acad. Sci. Paris 339, 11--14 (2004; Zbl 1119.11019)] mit Hilfe des Schmidtschen Teilraumsatzes erheblich verschärft. Wie Verff. [Ann. Math. (2) 165, No. 2, 547--565 (2007; Zbl 1195.11094)] zeigten, hat dies starke Kriterium zahlreiche Anwendungen und liefert u.a. die Transzendenz reeller Irrationalzahlen, deren \(g\)-adische Entwicklung (bei geeignetem ganzem \(g>1\)) durch einen endlichen Automaten erzeugt werden kann. Dies letzte Resultat haben Verff. kürzlich [J. Reine Angew. Math. 34 pp., vgl. \url{http://math.univ-lyon1.fr/~adamczew/ClasseCL_Rev.pdf}] dahingehend verallgemeinert, dass sie Tranzendenzmaße für eine große Klasse reeller Zahlen bewiesen, deren Transzendenz sich aufgrund ihrer o.g. Annals-Arbeit ergeben hatte. Das Haupthilfsmittel bei dieser Verallgemeinerung ist der Quantitative Teilraumsatz von \textit{W. M. Schmidt} [Compos. Math. 69, 121--173 (1989; Zbl 0683.10027)]. Verff. beschrieben dann in [Proc. Lond. Math. Soc. (3) 101, 1--26 (2010; Zbl 1200.11054)] eine allgemeine Methode, die es im Prinzip erlaubt, Transzendenzmaße für reelle Zahlen zu gewinnen, deren Transzendenz sich durch Anwendung von Sätzen vom Roth-Schmidtschen Typ ergibt. Hauptziel der vorliegenden Arbeit ist es, mittels dieser allgemeinen Methode aus dem Quantitativen Teilraumsatz Transzendenzmaße abzuleiten, die eine Lokalisierung der untersuchten reellen Zahlen innerhalb der Mahlerschen Klassifikation von 1932 gestatten. Neben den \(g\)-adischen Entwicklungen liefern gewisse reguläre Kettenbruchentwicklungen typische Beispiele von Zahlen, bei denen eine derartige Lokalisierung gelingt, etwa die von \textit{A. Baker} [Mathematika 9, 1--8 (1962; Zbl 0105.03903)] betrachteten quasi-periodischen Kettenbrüche. Andere Beispiele sind Kettenbrüche mit symmetrischem Bildungsgesetz oder solche mit verstecktem Wiederholungsmuster, etwa der Thue-Morse-Kettenbruch. Leider entzieht sich das Hauptergebnis (Theorem 2.1) dieser interessanten Arbeit ebenso wie einige seiner Folgerungen einem detaillierten Zitat.
scientific article; zbMATH DE number 5736055
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