Algebraic independence results for the sixteen families of \(q\)-series
\textit{I. J. Zucker} [SIAM J. Math. Anal. 10, 192--206 (1979; Zbl 0411.33001)] hat einen Katalog von 16 Familien von \(q\)-Reihen zusammengestellt, unter denen auch die berühmten Ramanujan-Funktionen \(P,Q,R\) vorkommen. Dabei werden diese \(q\)-Reihen von den Fourier-Entwicklungen der Jacobischen elliptischen Funktionen oder einigen ihrer Quadrate erzeugt. Verff. bestimmen zunächst alle Teilmengen dieser \(q\)-Reihen derart, dass deren Werte an jedem algebraischen Punkt algebraisch unabhängig (über \(\mathbb{Q}\)) sind. Des Weiteren finden sie einige algebraische Abhängigkeiten (über \(\mathbb{Q}\)) für zwei oder drei dieser \(q\)-Reihen. Als Anwendungen ihrer Resultate geben Verff. diverse neue Beispiele algebraisch unabhängiger Zahlen an. Z.B. sind für jedes algebraische \(\alpha\) mit \(0<|\alpha|<1\) die Zahlen in jeder der Mengen \(\{P(\alpha),P(\alpha^2)\}\), \(\{Q(\alpha),Q(\alpha^2)\}\), \(\{R(\alpha),R(\alpha^2)\}\) über \(\mathbb{Q}\) algebraisch unabhängig. Auch die beiden Zahlen \[ \nu_{\pm}(a):=\sum_{n\geq1}(-1)^n/(a^{2n-1}\pm1) \] sind algebraisch unabhängig für jedes algebraische \(a\) mit \(|a|>1\), womit die Frage nach der \(\mathbb{Q}\)-linearen Unabhängigkeit von \(1,\nu_+(a),\nu_-(a)\) bei beliebigem \(a\in\mathbb{Z}\setminus\{0,\pm1\}\) des Ref. [Result. Math. 51, 29--42 (2007; Zbl 1141.11038)] umfassend beantwortet ist.
scientific article; zbMATH DE number 5788047
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