Über stets konvergente Interpolationsformeln. (Q1486536)

Es handelt sich um die Aufstellung von Interpolationsformeln, mittels deren sich \textit{jede} stetige Funktion mit beliebiger Genauigkeit darstellen läßt. Das Verhältnis dieses Problems zu den in dem vorstehenden Referat besprochenen Reihen ist das gleiche wie das der trigonometrischen Interpolation (deren Konvergenzverhältnisse vom Verf. in Math. Ann. 69, 372-443 untersucht wurden) zur \textit{Fourier}schen Reihe. Sei \({\mathfrak T}_n\) eine Teilung des Intervalls (0,1) in \(n\) Teile, derart, daß das längste in \({\mathfrak T}_n\) vorkommende Teilintervall mit wachsendem \(n\) gegen 0 konvergiert. Es sollen jedem \({\mathfrak T}_n(n = 1, 2, \dots ) n + 1\) stetige Funktionen \(R^{(n)}\) zugeordnet werden, die in je einem der Teilpunkte von \({\mathfrak T}_n\) den Wert 1, in allen andern den Wert 0 haben. Ist dann \(f\) eine beliebige stetige Funktion, so erhält man dadurch, daß man diese \(n +1\) Funktionen \(R^{(n)}\) mit Hülfe derjenigen Werte, welche \(f\) an den Teilpunkten von \({\mathfrak T}_n\) besitzt, als Koeffizienten linear kombiniert, eine Annäherungsfunktion, welche in den Teilpunkten von \({\mathfrak T}_n\) genau mit \(f\) übereinstimmt. Die \(R^{(n))}\) sollen so gewählt sein, daß diese Annäherungsfunktionen mit wachsendem \(n\) gleichmäßig gegen \(f\) konvergieren, welches auch die stetige Funktion \(f\) sein mag. Es werden einige einfache Beispiele derartiger Interpolationsfunktionen \(R^{(n)}\) angegeben, insbesondere ein solches, bei welchem die \(R^{(n)}\) Polynome sind.