Zwei Sätze über ebene Vektorpolygone. (Q1832018)

Verf. hat in einer Arbeit (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 199) einen Beweis für den \textit{Steinitz}schen Satz über die Umordnung einer bedingt konvergenten unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern gegeben, bei dem er von einem Hilfssatz über Vektoren Gebrauch macht. Dieser Hilfssatz, der sich in etwas anderer Fassung auch bei \textit{Steinitz} findet, lautet: Gegeben sind \(n\) in einer Ebene liegende Vektoren mit der Summe Null. Diese bilden also aneinander gereiht ein geschlossenes Polygon; bei Änderung der Reihenfolge der Vektoren kann sich das Polygon ändern. Wenn alle Vektoren eine Länge \(< 1\) haben, dann kann man die Reihenfolge der Vektoren so wählen, daß das ganze Polygon innerhalb eines Kreises mit dem Radius \(k\) liegt, wobei \(k\) eine von \(n\) unabhängige positive Zahl bedeutet. Verf. gibt hier einen Beweis dieses Satzes, wobei er überdies zeigt, daß \(k\) den genauen Wert \(\sqrt{\dfrac54}\) besitzt. Beim Beweis macht er von den folgenden zwei elementargeometrischen Hilfssätzen Gebrauch: (1) Alle Seiten eines Parallellogramms seien \(< 1\). Ein beliebiger Punkt im Innern kann dann höchstens von einem einzigen Eckpunkt einen Abstand \(> \sqrt{\dfrac54}\) haben. (2) Die Strecken \(\overline{AB} < 2\) und \(\overline{CD} < \dfrac12\) mögen einen Punkt gemein haben. Dann muß mindestens eine der Strecken \(\overline{AC}\) oder \(\overline{BC}\) kleiner als \(\sqrt{\dfrac54}\) sein.