Kriterien für die asymptotische Approximation durch Dirichletsche Reihen (Q1062223)

Eine Folge \((\lambda_ n)\) hat die Eigenschaft (A), wenn es zu jeder auf (0,\(\infty)\) stetigen Funktion f, für die \(\lim_{s\to \infty}f(s)\) existiert, und zu jeder auf (0,\(\infty)\) positiven, stetigen Funktion h mit \(\lim_{s\to \infty}h(s)>0\) eine für \(s>0\) absolut konvergente Dirichletsche Reihe \(g(s)=\sum^{\infty}_{n=0}a_ ne^{-s\lambda_ n}\) gibt mit \(| f(s)-g(s)| <h(s)(s>0)\). Als Erweiterung des Satzes von Müntz zu einer asymptotischen Approximation wird bewiesen: Eine Folge \((\lambda_ n)\) verschiedener \(\lambda_ n\) mit \(0=\lambda_ 0<\lambda_ n\) \((n=1,2,...)\) hat die Eigenschaft (A) genau dann, wenn die Bedingung (M) gilt und ferner genau dann, wenn (B) gilt. Dabei bedeutet (M), daß \(\int^{\infty}_{0}e^{-t\lambda_ n}d\alpha (t)=O(e^{-q\lambda_ n})\) (n\(\to \infty)\), \(\int^{\infty}_{0}| d\alpha (t)| <\infty\) für jedes \(q>0\) bei normiertem \(\alpha\) stets \(\alpha (t)=0\) (0\(\leq t\leq q)\) impliziert, und \((\lambda_ n)\) erfüllt (B), wenn zu jedem \(q>0\), \(f\in C[0,q]\) mit \(f(q)=0\) und zu jedem \(\epsilon >0\) ein \(P(s)=\sum^{N}_{n=0}a_ ne^{-s\lambda_ n}\) existiert mit \(| f(s)-P(s)| <\epsilon\) auf [0,q] und \(\sum^{N}_{n=0}| a_ n| e^{-q\lambda_ n}<\epsilon\). Speziell im Falle \(\sum^{\infty}_{n=1}\lambda_ n^{- 1}=\infty\), \(\lambda_{n+1}-\lambda_ n\geq c>0\) wurden (A) mittels Bernsteinscher Polynome vom Autor [Mitt. Math. Semin. Gießen 74, 1-63 (1967; Zbl 0164.376)] und (M) von \textit{J. G. Mikusiński} und \textit{C. Ryll-Nardzewski} [Stud. Math. 13, 51-55 (1953; Zbl 0050.106)] bewiesen.