On algebraic independence of special values of gap series (Q1063627)

Seien \(f_{\lambda}(z):=\sum_{k\geq 1}a(\lambda,k) z^{e(\lambda,k)}\) endlich viele Lückenreihen mit algebraischen a(\(\lambda\),k)\(\neq 0\) und Konvergenzreihen \(R_{\lambda}>0\). In Verallgemeinerung des Hauptresultats von \textit{F.-J. Wylegala} und dem Ref. [Arch. Math. 34, 32- 36 (1980; Zbl 0414.10033)] zeigt Verf. die algebraische Unabhängigkeit \((=a.U.)\) von \(f_ 1(\alpha_ 1),...,f_{\ell}(\alpha_{\ell})\) unter gewissen (recht technischen) Lückenbedingungen. Die Beweismethode ist eng mit der von \textit{I. Shiokawa} [Arch. Math. 38, 438-442 (1982; Zbl 0474.10029)] verwandt. Diese wird weiter angewandt zum Nachweis der a.U. komplexer \(\gamma_ 1,...,\gamma_{\ell}\), die als Grenzwerte schnell konvergenter Folgen algebraischer Zahlen definiert sind, wie z.B. die Kettenbrüche \([k^{1!},k^{2!},k^{3!}...]\) für \(k=2,3,..\).. Ebenfalls wird die a.U. von \(f_ 1(\alpha_ 1),...,f_{\ell}(\alpha_{\ell}),f_{\ell +1}(\beta_ 1),...,f_{\ell +m}(\beta_ m)\) bewiesen für f's und algebraische \(\alpha_{\lambda}\) wie oben, aber mit algebraisch unabhängigen \(\beta_{\mu}\). Dabei ist vorausgesetzt: (i) die a.U. von \(f_ 1(\alpha_ 1),...,f_{\ell}(\alpha_{\ell})\), (ii) die Ordnungsfunktion O(u\(| \beta_ 1,...,\beta_ m)\) von \textit{A. Durand} [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. A 280, 1085-1088 (1975; Zbl 0302.10033)] ist bezüglich u ''klein'', (iii) eine nun auch von dieser ''Kleinheit'' abhängige Lückenbedingung.