A method for the numerical solution of the one-dimensional inverse Stefan problem (Q1075030)

Die Autoren behandeln das folgende inverse Stefanproblem: Gegeben \(T>0\), \(b\geq 0\), \(r_ 1\in C({\mathbb{R}}^ 2)\), \(r_ 2\in C({\mathbb{R}}^ 3)\), \(f\in C^ 1[0,b]\) (f\(\geq 0)\) und \(s\in C^{1,0}[0,T]\) \((s>0)\). Gesucht ist eine Funktion \(u\in C^{2,1}(D)\cap C^{1,0}(\bar D)\), die Lösung der Differentialgleichungsaufgabe ist, \(u_ t-u_{xx}=0\) in \(D:=\{(x,t)|\) \(0<x<s(t)\), \(0<t\leq T\},\) \(u_ x(0,t)\leq 0\), \(0\leq t\leq T,\) \(u(s(t),t)=r_ 1(s(t),t)\), \(0\leq t\leq T,\) \(u_ x(s(t),t)=r_ 2(\dot s(t),s(t),t)\), \(0\leq t\leq T,\) \(u(x,0)=f(x)\) in [0,b], \(s(0):=b.\) Als Methode zur Lösung solcher Probleme wird die Methode der Defektminimierung auf dem Rand vorgeschlagen und untersucht. Die Wärmepolynome als Lösung der Wärmeleitungsgleichung werden als Ansatzfunktion herangezogen. Die Autoren beweisen Konvergenzsätze sowohl für die Randwerte am Rand \(\{\) (0,t)\(\}\) wie auch für die zugehörigen freien Ränder. Zahlreiche numerische Beispiele zeigen, daß die Methode äußerst befriedigende Resultate liefert. Die jeweiligen Optimierungsprobleme werden mit dem Simplexverfahren gelöst.