Locally invariant Prüfer rings. (Q1080921)

\(R\) sei ein Orebereich mit 1, nicht notwendig kommutativ und \(K\) sein Quotientenkörper. Dann heißt \(R\) ein rechter Prüferring, wenn für jedes maximale Rechtsideal \(M\) die Menge \(S=R\setminus M\) ein rechtes Ore-System und die Lokalisierung \(RS^{-1}\) ein Bewertungsring in \(K\) ist. Gilt außerdem, daß \(RS^{-1}\) ein lokalinvarianter Bewertungsring ist, so bezeichnet der Verf. \(R\) als lokalinvarianten rechten Prüferring. Hierbei heißt ein Bewertungsring lokalinvariant, wenn für jedes Element \(x\) des maximalen Ideals \(xP(x)=P(x)x\) gilt, wobei \(P(x)\) das kleinste vollprime Ideal ist, das \(x\) enthält. In Anlehnung an \textit{M. Griffin} [J. Reine Angew. Math. 229, 1--27 (1968; Zbl 0173.03504)] führt der Verf. einen verschärften Approximationssatz ein und zeigt: Ist \(F\) ein System lokalinvarianter Bewertungsringe von endlichem Typ (d.h. \(\{v\in F\mid v(x)\neq v(1)\}\) ist endlich für jedes \(x)\), so ist der Durchschnitt \(R\) der zu \(F\) gehörenden Bewertungsringe genau dann ein lokalinvarianter rechter Prüferring, wenn für \(F\) der verschärfte Approximationssatz gilt. Man kann dann sogar zeigen, daß \(R\) auch ein linker Prüferring ist. Als eine Folgerung ergibt sich, daß ein invarianter Prüferring von endlichem Typ Durchschnitt lokalinvarianter Bewertungsringe ist.