Locally Archimedian right-ordered groups and locally invariant valuation rings (Q1086657)

Die Verf. verallgemeinern den von \textit{J. Gräter} [Math. Z. 192, 183- 194 (1986; Zbl 0578.16007)] eingeführten Begriff des lokalinvarianten Bewertungsringes auf rechte Kettenringe (Ringe mit linear geordnetem Rechtsidealverband). Sie nennen einen rechten Kettenring R lokal archimedisch, wenn für jedes \(a\in R\) das Rechtsideal \(D(a)=\cap_ na^ nR\) zweiseitig ist. Äquivalent dazu ist die Bedingung, daß zwischen zwei Primidealen stets noch ein zweiseitiges Ideal liegt. Ist R sogar ein Kettenring ohne Nullteiler, so ist R genau dann lokal archimedisch, wenn R lokal invariant im Sinn von Gräter ist. Der Begriff lokal archimedisch wurde von \textit{P. F. Conrad} [Mich. Math. J. 6, 267-275 (1959; Zbl 0099.017)] für rechtsgeordnete Gruppen eingeführt. Der Zusammenhang wird durch folgenden Satz gegeben: G sei eine rechtsgeordnete Gruppe und \(P=\{a\in G|\) \(a\geq 1\}\), K ein Körper und R der schiefe Halbgruppenring von P über K bezülich eines Monomorphismus \(\sigma\) : \(P\to Aut K\) (d.h. die Vertauschungsregel \(ax=x^{\sigma (a)}a\) gilt für \(a\in P\), \(x\in K)\). Ist S eine Ore- Menge in R, so ist die Lokalisierung \(R_ S\) genau dann lokal archimedisch, wenn die Gruppe G lokal archimedisch ist.