Rings of geometries. I (Q1088153)

Unter einem Modell versteht der Verf. ein Tripel (A,\(\alpha\),B), wobei A eine Punktmenge und \(\alpha\) eine Abbildung der Potenzmenge von A auf die Menge B ist. Es heißt äquivalent zu einem Modell (A',\(\beta\),B'), wenn eine Bijektion \(\gamma\) : \(A\to A'\) mit \(\alpha (X)=\beta \gamma (X)\) für alle \(X\subseteq A\) existiert. Eine Geometrie ist eine Klasse äquivalenter Modelle. Der Verf. untersucht kombinatorische Fragen endlicher Geometrien. Er führt Einbettungs- und Erweiterungszahlen ein und bringt sie in Zusammenhang zu den Ordnungen der Automorphismengruppen. Zwischen den Geometrien kann man über die Modelle eine Enthaltenseinsrelation definieren, außerdem eine Verknüpfung, die bei einem gegebenen abgeschlossenen System \(\Gamma\) von Geometrien zu einem kommutativen und assoziativen Ring C(\(\Gamma)\) führt. Im Fall, daß \(\Gamma\) endlich ist, läßt sich die Struktur von C(\(\Gamma)\) weitgehend bestimmen. In einer folgenden Arbeit beabsichtigt der Verf., die hier entwickelte Theorie auf Abzählungsfragen von Konfigurationen in endlichen projektiven Ebenen anzuwenden.