Zur Stetigkeit der Wurzeln der algebraischen Gleichungen über topologischen Integritätsbereichen. (Continuity of the roots of an algebraic equation over topological integral domains) (Q1092128)

Verf. untersucht, in welchem Umfang sich der bekannte Satz, daß die Nullstellen von Polynomen aus \({\mathbb{C}}[x]\) stetig von deren Koeffizienten abhängen, auf Polynome über topologischen Körpern oder allgemeiner über topologischen Integritätsbereichen \(R\) übertragen läßt. Zur Präzisierung der Problemstellung wird zunächst \(R[x]\) in natürlicher Weise topologisiert, und weiter werden auf dem System der abgeschlossenen Teilmengen von R quasi-uniforme Topologien \(\rho^+\) und \(\rho^-\) sowie die uniforme Topologie \(\rho^*\) als Supremum von \(\rho^+\) und \(\rho^-\) definiert. Die Fragestellung bezieht sich dann auf die Stetigkeit der Wurzelfunktion, nämlich der Abbildung \(Z\), die jedem Polynom die abgeschlossene Menge seiner Nullstellen in \(R\) zuordnet, bezüglich der Topologien \(\rho^+\), \(\rho^-\), \(\rho^*\). Ist \(Z\) auf ganz \(R[x]\) stetig, so wird R entsprechend ein \(W^+\)-, \(W^-\)- bzw. \(W^*\)-topologischer Ring genannt. Jeder \(W^+\)-topologische Integritätsbereich ist in seiner Vervollständigung algebraisch abgeschlossen, und im Fall eines lokal-beschränkten V-topologischen Integritätsbereichs gilt hiervon auch die Umkehrung. Nach detaillierten Resultaten, die insbesondere Zerfallseigenschaften und Vielfachheiten der Nullstellen einbeziehen, ergibt sich unter anderem, daß für jeden nicht-diskreten V-topologischen und separabel algebraisch abgeschlossenen Körper seine Vervollständigung ein V-topologischer algebraisch abgeschlossener \(W^*\)-topologischer Körper ist. Neben zahlreichen Beispielen und Gegenbeispielen wird aber auch gezeigt, daß es vollständige lokal-beschränkte \(W^+\)-topologische Körper gibt, die nicht V-topologisch sind.