Ein verschärfter und verallgemeinerter Satz von Alexandrov. (A sharpened and generalized theorem of Alexandrov) (Q1093900)

In dieser Arbeit wird ein Satz von \textit{A. D. Aleksandrov} [Can. J. Math. 19, 1119-1128 (1967; Zbl 0173.246)] verallgemeinert und verschärft. Es wird gezeigt, daß im \({\mathbb{R}}^ n\), der mit einer verallgemeinerten pseudo-euklidischen Distanzfunktion \[ d(a,b):=\sum^{j}_{\nu =1}(a_{\nu}-b_{\nu})^ 2-\sum^{n}_{\nu =j+1}(a_{\nu}- b_{\nu})^ 2 \] ausgestattet ist, der Satz gilt: Wenn eine Funktion \(f: {\mathbb{R}}^ n\to {\mathbb{R}}^ n\) die Bedingung erfüllt, daß \((x,y\in {\mathbb{R}}^ n)\) \[ d(f(x),f(y)) = 0\quad \Leftrightarrow \quad d(x,y)=0\quad gilt, \] dann ist die Funktion affin und erhält die Distanzen bis auf einen Faktor C. Der Satz stellt eine Erweiterung der Resultate Alexandrovs dar, als er dessen Forderungen der Bijektivität von f und auch die Bedingung \(j=n- 1\) fallen läßt. Wesentliches Hilfsmittel ist ein ebenfalls in dieser Arbeit gezeigter Satz über eine bestimmte Menge von Funktionen, der dazu bemüht wird, die Abbildung der Nullgeraden (isotrope Geraden) als \(Id_ R\) zu erkennen.