Spectre d'anneaux de polynômes sur une suite de modules. (Spectrum of polynomial rings over a sequence of modules) (Q1099219)

On note \({\mathcal M}[X]=\oplus _{n\in {\mathbb{N}}}M_ nX\) n\ un anneau gradué alors \(M_ 0=A_ 0\) est un anneau unitaire et pour tout n, M est un \(A_ 0\)-module. On suppose que \(\cup _{n\in {\mathbb{N}}}M_ n\quad est\) un anneau commutatif unitaire A. On donne des conditions necessaires et suffisantes pour que le spectre de \({\mathcal M}[X]\) ne depende que de \(A_ 0\) et de A, de façon précise qu'il soit la réunion disjointe d'un fermé homéomorphe au spectre de \(A_ 0\) et d'un ouvert homéomorphe à un ouvert de A[X]. Dans ce cas tout premier de \({\mathcal M}[X]\) se relève de façon unique dans l'anneau des polynômes de A[X] dont le terme constant appartient à \(A_ 0\). Ces deux anneaux ont bien sûr même dimension mais leur spectres ne sont pas nécessairement homéomorphes. On donne de nombreux exemples, notamment celui de l'anneau des polynômes dont les k premières dérivées appartiennent à \({\mathcal M}[X]\).