Polynômes à valeurs entières et à coefficients sur une suite croissante d'anneaux. (Polynomials with integral values and with coefficients over an ascending chain of rings) (Q1101517)

On considère l'anneau des polynômes \({\mathcal A}[x]\) dont le coefficient du terme de degré i est dans \(A_ i\), où \({\mathcal A}=(A_ i)_{i\geq 0}\) est une suite croissante d'anneaux de reunion A. Si B est un anneau tel que \(A_ 0\subset B\subset A[x]\) et \(f(0)\in A_ 0\), pour tout \(f\in B\), on montre que le spectre de l'intersection \({\mathcal A}_ B={\mathcal A}[x]\cap B\) est homéomorphe au spectre de B. On retrouve en particulier que le spectre de \({\mathcal A}[x]\) est homéomorphe au spectre de l'anneau \(B={\mathcal A}'[x]\) formé des polynômes de A[x] dont le terme constant est dans \(A_ 0\); mais cette étude comprend aussi le cas où B est un anneau de polynômes à valeurs entières; lorsque \(A_ 0\) est intègre et \(A=K_ 0\) est le corps des fractions de \(A_ 0\). Désignant par \(J_ 0\) l'ideal des polynômes de \({\mathcal A}_ B\) de terme constant nul, on montre que le spectre de \({\mathcal A}_ B\) est la reunion du fermé \(V(J_ 0)\), homéomorphe au spectre de \(A_ 0\), et de l'ouvert complémentaire - homéomorphe à un ouvert de Spec(B), par ailleurs il est clair que \(X\in J_ 0\). On établit que \(V(J_ 0)\) est néanmoins distinct de V(X) si B est l'anneau des polynômes dont les n premières derivées sont à valeurs entières; alors que \(V(J_ 0)=V(X)\) si B est l'anneau des polynômes dont les n premières differences finies divisées sont à valeurs entières.