On the symbolic topology on an ideal (Q1101521)

I est un idéal d'un anneau commutatif, noethérien et unitaire R; il lui correspond ses puissances \(I^ n\) et ses puissances symboliques \(I^{(n)}\); celles-ci définissent sur R les topologies I-adique et I- symbolique. I est un t-idéal si ces topologies sont équivalentes, c'est-à-dire si à chaque entier naturel n est associé un entier naturel m tel que \(I^ n\) contienne \(I^{(m)}\). Par contre, I est un s- idéal si les topologies sont linéairement équivalentes; ceci signifie l'existence d'un entier positif ou nul k tel que \(I^ n\) contienne \(I^{(n+k)}\) pour tout entier naturel n. Ainsi, I est un t-idéal si et seulement si pour tout idéal radical J de R contenant I et tout entier k il existe un entier n pour lequel \(J^{(k)}\) contienne \(I^{(n)}\). Un autre critère est: il y a identité entre les ensembles de diviseurs premiers essentiels de I d'une part, des idéaux premiers minimaux associés de I d'autre part. Si R est régulier, tout idéal de R est un t-idéal; de même, tout idéal de R est un s-idéal si et seulement si R est un anneau localement primaire de dimension \(1.\) Il y a équivalence entre les propriétés suivantes: tout idéal de R de la classe principale est un s-idéal; tout idéal de R de la classe principale est un t-idéal; R est ``locally unmixed''. L'A. corrige la démonstration de deux résultats publiés par \textit{O. Zariski} et \textit{P. Samuel} [``Commutative algebra. II'' (1960; Zbl 0121.278), p. 274]; il conclut l'article en signalant plusieurs problèmes ouverts.