G-domains and spectral spaces (Q1108336)

Ein Integritätsbereich R heißt G-Bereich, wenn der Durchschnitt p(R) aller Primideale \(\neq 0\) selbst vom Nullideal verschieden ist. Ein G-Bereich R wird wesentlich genannt, wenn jedes Primideal \(\neq 0\) in der Vereinigung V aller Primideale der Höhe Eins enthalten ist. Mit \(S=R\setminus V\) ist dann \(S^{-1}R\) ein wesentlicher G-Bereich. Jedem G-Bereich R wird in kanonischer Weise ein G-Bereich \(R^{\square}\) vom pullback-Typ zugeordnet, der als Ring zwischen R und \(S^{-1}R\) aufgefaßt werden kann und dessen Idealstruktur einfacher überschaubar ist. Gilt \(\bar R=R/p(R)\) und ist \(T=S^{-1}R/p(S^{- 1}R)\) der totale Quotientenring von \(\bar R,\) so wird \(R^{\square}\) als pullback \(\bar R\times_ TS^{-1}R\) mit der natürlichen Surjektion \(S^{-1}R\to T\) und der natürlichen Injektion \(\bar R\to T\) definiert. Es gilt \(R^{\square \square}=R^{\square}\), und im Sinn der Zariski- Topologie sind Spec(R\({}^{\square})\) und Spec(R) homöomorph. Unter verhältnismäßig allgemeinen Zusatzvoraussetzungen werden zahlreiche weiterführende Ergebnisse über G-Bereiche gewonnen, und in Spezialfällen werden insbesondere die G-Bereiche vom pullback-Typ charakterisiert. Durch Ein-Punkt-Adjunktion wird eine natürliche Bijektion zwischen den Homöomorphieklassen allgemeiner Spektralräume und den Homöomorphieklassen von zu G-Bereichen gehörenden Spektralräumen hergestellt. Und schließlich enthält die Arbeit mehrere sehr instruktive Beispiele für G-Bereiche.