Modified wave operators and Stark Hamiltonians (Q1202447)

On prouve l'existence et la complétude des opérateurs d'onde modifiés en mécanique quantique, en présence d'un champ électrique constant. Plus exactement, soient \(H_ 0=-\Delta/2-x_ 1\), \(H=H_ 0+V\) des opérateurs auto-adjoints sur \(L^ 2(\mathbb{R}^ n)\). On suppose \(V=V_ L+V_ S\), où \(V_ L\) est une perturbation du type ``longue portée'', \(V_ L\in{\mathcal C}^ \infty(\mathbb{R}^ n;\mathbb{R})\), telle qu'il existe \(\varepsilon>0\) et les constantes \(C_ \alpha>0\), \(\alpha\in\mathbb{R}^ n\), telles que \[ | D^ \alpha V_ L(x)|\leq C_ \alpha\langle x_ 1\rangle^{-|\alpha|/2-\varepsilon}, \qquad D^ \alpha V_ L(n)=o(1) \quad\text{ si } | n|\to \infty,\quad \alpha\in\mathbb{N}^ n, \] tandis que \(V_ S\) est une perturbation du type ``courte portée'', opérateur symétrique, \(H_ 0\)-compact et tel que \[ \int_ 1^ \infty \| F(x_ 1>r^ 2)V_ S(H_ 0+i)^{-1}\| dr<\infty, \] où \(F(\cdot)\) est la fonction caractéristique de l'ensemble indiqué. Sous ces hypothèses on construit une fonction \(X=X(\xi_ 1,\dots,\xi_ n,t)\), telle que si \(X_ D(t)=X(D_ 2,\dots,D_ n,t)\), les opérateurs d'onde modifiés \(W_ D^ \pm =\text{s-lim}_{t\to\mp\infty} \exp(it H)\exp(-it H_ 0)\exp(-i X_ D(t))\) existent et sont complets. On donne aussi une condition nécessaire et suffisante afin qu'il existe les opérateurs d'onde de Møller.