Rich intervals in subgroup lattices (Q1206507)

Ein endlicher Verband \(V\) heiße reichhaltig, wenn für je zwei Elemente \(a,b \in V\) mit \(a < b\) entweder \(a\) maximal in \(b\) ist, oder es drei verschiedene Elemente \(c_ i \in V\) gibt mit \(a < c_ i < b\). Wie man leicht sieht, hat eine endliche Gruppe \(G\) genau dann einen reichhaltigen Untergruppenverband, wenn sie verbandsisomorph zu einer elementarabelschen Gruppe ist. Viel schwieriger ist es, festzustellen, wann für eine Untergruppe \(H\) von \(G\) das Intervall \([G/H]\) der \(H\) enthaltenden Untergruppen von \(G\) reichhaltig ist. Diese Frage wurde von \textit{H. Kurzweil} [J. Reine Angew. Math. 356, 140-160 (1985; Zbl 0548.20015)] für auflösbare Gruppen gelöst und für eine beliebige endliche Gruppe \(G\) und (herzfreie) \(p\)-Untergruppe \(H\) von \(G\) auf den Fall reduziert, daß \(G\) nur einen minimalen Normalteiler \(X\) besitzt und \(G = XH\) ist; insbesondere ist dann \(X \leq G \leq \text{Aut }X\) mit einem direkten Produkt \(X\) isomorpher einfacher Gruppen. Mit Hilfe der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen beweist der Verfasser, daß in diesem Fall für \(p \neq 2\) nur gewisse Gruppen \(PSL(2,q)\) als \(G\) auftreten. Er untersucht dieselbe Situation auch für \(p = 2\), wobei einige weitere Fälle auftreten, sich aber keine vollständige Übersicht wie im Fall \(p \neq 2\) ergibt. Die Beweise aller dieser Resultate sind sehr umfangreich, aber hier nur knapp geschildert und teilweise nur skizziert. Sie finden sich vollständiger in der Dissertation des Verf. [Geometrische Abschnitte in Untergruppenverbänden (Erlangen, 1991; Zbl 0733.20012)].