Nombres premiers de la forme \([un^2]\) (Q1235209)

Soit \(u\) un nombre réel; considérons la fonction du réel \(x\) défini par \[ \pi_u=\text{card}\,\{n\leq x\mid [un^2] \text{ premier }\}. \] On montre par des méthodes de crible s'il existe une constante absolue \(C\) telle que pour presque tout \(u\) et pour tout \(x\) assez grand on a \[ \pi_u(x)\leq C\frac x{\log x}. \] D'autre part, l'ensemble des \(u\) tels que \[ \pi_u(x)=o\left(\frac x{\log x}\right) \] est de mesure nulle.