Hamiltonian mechanics in the presence of constraints (Q1320967)

Cet article est consacré à l'extension du formalisme hamiltonien à la mécanique en présence de constraintes; le formalisme est assez général pour inclure à la fois des liaisons passives incluant des phénomènes de frottement et des liaisons actives comportant des mécanismes de contrôle (par exemple des servo-mécanismes ou asservissement) et contient des situations antérieurement étudiées par Marsden, Montgomery, Ratiu et Marle. Après avoir discuté le formalisme général de la mécanique des solides et notamment les conditions d'application du ``Principe de d'Alembert'' -- les paradoxes relevés par différents auteurs tiennent soit à l'application d'une formulation inadéquate soit aux limites de la théorie de la mécanique des solides -- on introduit un concept assez général de liaisons hamiltoniennes qui inclue nombre des situations visées. Une procédure de réduction symplectique permet d'éliminer les inconnues mécaniques du problème et fournit sur la variété de Poisson réduite les équations du mouvement du système sous la réserve qu'une ``condition de couplage'' est vérifiée. Cette condition indique grosso modo sur quelles variables de position l'on peut agir pour contrôler le mouvement. Dans différents contextes et notamment celui de la mécanique ``usuelle'' des solides ou de la mécanique terrestre une décomposition du ``champ dynamique'' décrivant le mouvement est donnée qui fait ressortir les origines des contributions apportées à ce champ, ce qui permet de prévoir l'annulation de certaines composantes en fonction de la nature des mécanismes ou devrait permettre, lors d'éventuelles estimations numériques, de prévoir les ordres de grandeur des différentes contributions. Des exemples qui illustrent la démarche suivie sont donnés.