On the history of generalized quadrangles (Q1330775)

\textit{S. E. Payne} und \textit{J. A. Thas} [``Finite generalized quadrangles'' (1984; Zbl 0551.05027), Chapter 6] zeigten, daß es genau ein verallgemeinertes Viereck \(Q\) mit \(5\) verschiedenen Punkten auf einer Geraden und 3 verschiedenen Geraden durch einen Punkt gibt. Dieses Viereck kann durch die 45 Punkte und 27 Geraden der Hamiltonschen Fläche \(U_{3,4}\) repräsentiert werden, die durch die Gleichung \(\sum^ 3_{i = 0} x^ 3_ i = 0\) über dem Galoisfeld \(GF(4)\) beschrieben wird. Ein Ovoid eines verallgemeinerten Vierecks \(\mathcal S\) ist eine Menge \(\mathcal O\) von Punkten, so daß jede Gerade von \(\mathcal S\) genau einen Punkt von \(\mathcal O\) enthält. \textit{A. E. Brouwer} und \textit{H. A. Wilbrink} [Geom. Dedicata 36, No. 1, 121-124 (1990; Zbl 0716.51007)] zeigten, daß es genau zwei Isomorphietypen von Ovalen des Vierecks \(Q\) gibt. Der Autor zeigt, daß diese Klassifikation auch aus den Eigenschaften der 27 Geraden einer nichtsingulären, nicht zu einer Regelfläche isomorphen, kubischen Fläche \(\mathcal F\) über den komplexen Zahlen folgt.