\(q\)-additive functions and algebraic independence (Q1383588)

Ist \(q\geq 2\) eine feste ganze Zahl, so heißt eine zahlentheoretische Funktion \(a: {\mathbb N}_0 \to {\mathbb C}\) \(q\)-additiv, wenn \(a(kq^t+r) = a(kq^t)+a(r)\) für alle \(k,t,r\in{\mathbb N}_0\) mit \(r < q^t\) gilt. Ein Beispiel ist die Ziffernsummenfunktion \(s(n) := b_0+\ldots+b_j\), wenn \(b_0+b_1q+\ldots+ b_jq^j\) mit \(b_0,\ldots,b_j\in\{0,\ldots,q-1\}\) die \(q\)-adische Entwicklung von \(n\in{\mathbb N}_0\) bedeutet. In der vorliegenden Note sei nun \(a\) eine nicht identisch verschwindende \(q\)-additive Funktion, die überdies \(a(kq) = a(k)\) für alle \(k\in {\mathbb N}_0\) erfüllt. Hauptergebnis ist dann die Aussage, daß die im Einheitskreis konvergenten Potenzreihen \[ f_{\ell}(z) := \sum_{n\geq 0} a(n)^{\ell}z^n \quad (\ell=1,2,\ldots) \] über \({\mathbb C}(z)\) algebraisch unabhängig sind. Da diese Potenzreihen einem linearen Funktionalgleichungssystem der ``Mahlerschen'' Gestalt \(f_{\ell}(z)=\sum_{h=0}^{\ell} P_{lh}(z)f_h(z^q) \;\;(\ell\in{\mathbb N}_0)\) mit expliziten Polynomen \(P_{\ell h}\) genügen, ergibt sich aus dem Hauptergebnis und einem allgemeinen Satz von \textit{K. Nishioka} [J. Reine Angew. Math. 407, 202-219 (1990; Zbl 0694.10035)]: Ist \(\alpha \not= 0\) eine algebraische Zahl im Einheitskreis, so sind \(f_1(\alpha), f_2(\alpha),\ldots\) über \({\mathbb Q}\) algebraisch unabhängig.