On the structure of the group of autoprojectivities of a locally finite modular \(p\)-group of finite exponent. (Q1409599)

Nach einem bekannten Satz von Baer genügt es für das Studium der im Titel der Arbeit ge\-nann\-ten Autoprojektivitätengruppen, abelsche Gruppen zu untersuchen, und die beiden Autoren haben in einer früheren Arbeit gezeigt, dass{} man sich sogar auf die Betrachtung der Gruppe \(P(G)\) der Autoprojektivitäten einer abelschen \(p\)-Gruppe der Form \(G=H\times C\) beschränken kann, wobei \(H=\langle a\rangle\times\langle b\rangle\) mit \(o(a)=o(b)=p^n\) und \(\text{Exp\,}C=p^s\) mit \(0<s<n\) ist. Dann ist \(P(G)=PA(G)\cdot R(G)\), wobei \(PA(G)\) die Gruppe der von den Automorphismen induzierten Projektivitäten und \(R(G)\) die Gruppe der Autoprojektivitäten von \(G\) ist, die \(H\) fest lassen und auf \(\Omega_s(G)\) die Identität induzieren. Die Verfasser betrachten ferner die Untergruppe \(\Gamma(G)\) derjenigen \(\varrho\in R(G)\), die auf \(\Omega_{s+1}(G)/\Omega_{s+1}(G)^{p^s}\) die Identität bewirken. Für \(s\geq 2\) ist \(R(G)\) eine \(p\)-Gruppe, und die Verfasser zeigen, dass{} \(R(G)\) genau dann abelsch ist, wenn \(n<2s\) oder \(n=2s\) und \(p\mid s\) gilt; für \(n>2s\) hat \(\Gamma(G)\) die Klasse \(p^{n-2s}\) und \(R(G)\) höchstens die Klasse \(p^{n-2s}(s(p-1)+1)\). Für \(s=1\) und \(n>2\) ist \(\Gamma(G)\) ebenfalls eine \(p\)-Gruppe der Klasse \(p^{n-2}\) und \(| R(G)|=(p-1)|\Gamma(G)|\).