Padé approximants and balanced hypergeometric series. (Q1415341)

Les auteurs construisent des approximants de Padé simultanés pour des fonctions polylogarithmes aux points 0, 1 et \(\infty\). Ils donnent des formules explicites faisant intervenir des fonctions hypergéométriques. Par spécialisation ils retrouvent les outils utilisés dans presque tous les travaux concernant l'irrationalité des \(\zeta(2n + 1)\) (voir l'article de \textit{T. Rivoal}, Acta Arith. 103, No.~2, 157--167 (2002; Zbl 1015.11033)) pour une bibliographie). Un des corollaires est que, parmi les \(\lambda Li_s(\alpha) + \mu\;\frac{(\log \alpha)^s}{(s-1)!}\) pour \(s\) parcourant \(\mathbb{N}\setminus \{0\}\), il y a une infinité de nombres \(\mathbb{Q}\)-linéairement indépendants, si \(\alpha\in[0,1]\cap\mathbb{Q}\) et \((\lambda,\mu)\in \mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}\) (ce qui contient la trans\-cendance de \(\log \alpha\)).