Introduction to quaternions, with numerous examples. (Q1558824)

In England, woselbst die Theorie der Quaternionen durch William-Rowan Hamilton erfunden und zuerst (in seinen Lectures on Quaternions, Dublin 1853) auseinandergesetzt wurde, hat diese analytisch-geometrische Methode am Meisten Anklang gefunden, freilich einen noch nicht so grossen, wie ihr Entdecker gehofft hatte. Dagegen sind auf dem Continent die Quaternionen sehr wenig gekannt; die Werke von Bellavitis, Calcolo dei Quaternioni di W. R. Hamilton, e sua relazione col metodo delle Equipolenze, Modena 1858, etc., siehe die weitere Literatur in Hoüel, Sur la méthode d'analyse géométrique de M. Bellavitis etc., Nouv. Ann. (2) VIII. 289; F. d. M. II. 454 JFM 02.0454.03 und V. 339, JFM 05.0339.01), Allégret (1862), Hankel (Vorl. über die complexen Zahlen und ihre Functionen, Leipzig, 1867) und Hoüel (siehe d. folg. Referat) sind, ausser den englischen Werken, - soweit uns bekannt - die einzigen, welche einen Abriss der Theorie der Quaternionen enthalten. Der Werth der Entdeckungen, welche man allein mit Hülfe der neuen Methode gemacht, steht nach Ansicht vieler nicht im Verhältnniss zu den Schwierigkeiten, welche die Handhabung der Methode erheischt. Diese Schwierigkeit beruht darin, dass man in der Anwendung der gebräuchlichen Rechnungsoperationenbeschränkt ist; da ja die Quaternionen \[ a_0 +a_1 i_1 +a_2 i_2 +a_3 i_3 \] drei complexe Einheiten enthalten, für deren Multiplication untereinander oder mit gewöhnlichen complexen Zahlen \((\alpha + \beta \sqrt{-1})\) zwar das associative Princip gilt, doch die Voraussetzung der Commutativität der complexen Einheiten untereinander fallen gelassen wird. Das studium deer Werke W. R. Hamilton's (ausser den oben genannten Lectures erschienen im J. 1866 seine Elements of Quaternions, London) ist überdies wegen deer oft unzusammenhängenden Darstellung nicht leicht. Deshalb suchte Herr Tait, Hamilton's eifriger Schüler, durch ein vollständiges und elementar geschriebenes Lehrbuch der Quaternionen, der neuen Methode mehr Anhänger zu gewinnen. Die Uebersicht über den Inhalt der zwieten Auflage dieses Werkes und die der Introduction von Kelland \& Tait, entnehmen wir einem ausführlicheren Referat, welches Herr Hoüel in Darboux Bull. VI. 161-166. gegeben hat. Das erste Capitel des Treatise enthält die Addition und Subtraction der \(Vectoren\), welche die Translation eines Systemes parallel mit sich selbst bestimmen; Cap. II. die Theorie der \(Biradiale\), der Symbole für diejenigen Operationen, welche zugleich Grösse und Richtung eines Vectors ändern; ihr analytischer Ausdruck ist die \(Quaternion\). Im folgenden Capitel werden verschiedene Transformationen von Formeln und ihre geometrische Dentung gegeben. Cap. IV. enthält die Differentiation der Functionen Quaternionen. Für die impliciten Functionen ist hier die Lösung einer Gleichung ersten Grades mit Hülfe der Eigenschaften der linearen Functionen eines Vectors erforderlich (Cap. V.). Die folgenden Capitel bringen Anwendung der entwickelten Theorie auf die Gerade und die Ebene (VI.), auf die Kugel, die Rotationskegel und die Mittelpunktsflächen \(2^{\text{ter}}\) Ordnung (VII. u. VIII.), auf die Krümmung der Linien und Flächen (IX.) und auf die Cinematik (X.). Das Schlusscapitel (XI.) ist reich an sehr interessanten Anwendungen der Quaternionen auf physikalische Probleme. Das zweite Buch, die Introduction to quaternions, ist für Anfänger bestimmt und deshalb elementarer gehalten. Im allgemeinen Plan weicht dieser Abriss nicht viel von dem ersteren Werke ab; doch sind die schwierigeren Theile, welche die Rechnung mit transcendenten Grössen voraussetzen, hier fortgelassen.