Bemerkungen zu einem Determinantensatz von Minkowski (Q1565449)

Es sei \(A\) eine \(n\)-reihige Matrix, für die \[ a_{\kappa,\lambda}\leq 0\quad\text{für}\quad\kappa\neq \lambda\tag{1} \] ist, und bei der sich \(n\) positive Zahlen \(p_1, p_2, \ldots, p_n\) so angeben lassen, daß \[ \sum_{\lambda=1}^n p_\lambda a_{\kappa,\lambda}\geq 0 \qquad (\kappa=1,2,\ldots,n)\tag{2} \] ist. Dann besitzt jede charakteristische Wurzel \(\omega\) einen positiven Realteil oder es ist \(\omega=0\). Mindestens eine der Wurzeln, und zwar die mit dem kleinsten Realteil, ist reell. Sind speziell alle \(a_{\kappa,\lambda}\neq 0\), so hat \(A\) dann und nur dann die charakteristische Wurzel to \(\omega=0\), wenn in den Bedingungen (2) überall das Gleichheitszeichen steht. Dieser Satz ist eine weitgehende Verallgemeinerung des Satzes von R. Tambs Lyche. Der Verf. benutzt beim Beweis den Satz von Minkowski, der folgendes aussagt: Ist \(A\) eine \(n\)-reihige quadratische Matrix, für die \[ a_{\kappa,\lambda} < 0 \qquad (\kappa\neq\lambda) \] \[ \sum_{\lambda=1}^n a_{\kappa,\lambda}> 0 \qquad (\kappa=1,2,\ldots,n), \] so ist die Determinante positiv. Für diesen Satz führt der Verf. einen eleganten Beweis von I. Schur an. Der 1. Teil des behaupteten Satzes folgt dann unmittelbar aus dem Minkowskischen Satze, wenn man \(A\) mit \[ P=\left({\begin{matrix} p_1 &0 &\dots &\dots &\dots &0\\ 0 &p_2 &0 &\dots &\dots &0\\ 0 &0 &p_3 &0 &\dots &0\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\ 0 &\dots &\dots &0 &0 &p_n\end{matrix}}\right) \] transformiert und beachtet, daß ähnliche Matrizen gleiche charakteristische Wurzeln besitzen. Unter Heranziehumg eines Satzes von Perron über Matrizen mit nur positiven Elementen gelingt es dem Verf. in scharfsinniger Weise, den obigen Satz vollständig zu beweisen. Aus dem Schurschen Beweis des Minkowskischen Satzes kann sogar ein analoger Satz für Matrizen \(A\) mit komplexen Koeffizienten abgeleitet werden, der folgendermaßen lautet: Die charakteristischen Wurzeln einer Matrix \(n\)-ten Grades \(A = (a_{\kappa,\lambda})\) mit beliebigen Elementen besitzen sämtlich einen nichtnegativen Realteil, wenn sich positive Größen \(p_1, p_2, \ldots, p_n\) so angeben lassen, daß \[ \sum_{\lambda\neq\kappa=1}^n | a_{\kappa,\lambda}|\leq p_\kappa R(a_{\kappa,\lambda})\qquad (\kappa = 1, 2, \ldots, n) \] ist. Aus diesem Satz folgt dann durch Bildung der Matrix \[ A=\left({\begin{matrix} u_1+iv_1 &0 &\dots &\dots &0 \\ 0 &u_2+iv_2 &0 &\dots &0 \\ 0 &0 &u_3+iv_3 &\dots &0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ 0 &\dots &\dots &\dots &u_n+iv_n\end{matrix}}\right), \] bei der \(u_\kappa\geq 0\), der interessante Satz: Die charakteristischen Gleichungen der Matrizen, die den Bedingungen des vorigen Satzes genügen, stellen die Gesamtheit derjenigen Gleichungen dar, die nur Wurzeln mit nichtnegativem Realteil besitzen.