Über das Maximum des absoluten Betrages einer analytischen Funktion (Q1565456)

Es werden Verschärfungen des Schwarzschen Lemmas durch Kombination dieses Lemmas mit linearen Abbildungen angegeben, und daraus gefolgert: Es sei \[ f(x)=x^{-\nu}+ax^{-\nu+p}+bx^{-\nu+p+1}+\ldots \] (\(\nu\) und \(p\) ganz, \(p >\nu\)) für \(0 <| x|\leq r\) regulär; ferner \(M(\rho) = \text{Max}_{| x|=\rho} | f(x)|\) monoton für \(0 < \rho\leq r\). Dann ist \[ r^{\nu} M(r)\leq \frac {p+\nu}{p-\nu}\,,\qquad r^p\cdot | a|\leq \frac {4p\nu}{p^2-\nu^2}\,, \] und zwar gilt das Gleichheitszeichen entweder in beiden Ungleichungen oder in keiner von ihnen. Wenn das Gleichheitszeichen gilt, dann ist die linke Ableitung \(M'_{-}(r) = 0\), und \(f(x)\) hat in \(| x|\leq r\) eine Nullstelle. Die einzigen Funktionen, bei denen das Gleichheitszeichen gilt, sind gegeben durch \[ f(x) = e^{i\alpha\nu}\cdot f_1(xe^{i\alpha})\quad (\alpha\text{ reell }) \] mit \[ f_1(x)=\frac {p+\nu}{p-\nu}\cdot\frac 1{x^{\nu}}\cdot\frac{(p+\nu)x^p+(p-\nu)r^p}{(p-\nu)x^p+(p+\nu)r^p}\,. \] Wenn \(f(x)\) in \(| x|\leq r\) keine Nullstelle besitzt, dann gelten die schärferen Ungleichungen \[ r^{\nu}M(r)\leq e^{2\nu/p},\qquad r^p\cdot | a|\leq 2\sin(2\nu/p). \] Es handelt sich um eine Verallgemeinerung des von \textit{E. Landau} [J. Reine Angew. Math. 161, 135--136 (1929; JFM 55.0211.01)] verschärften Hilfssatzes I bei \textit{P. Koebe} [Math. Ann. 69, 1--81 (1910; JFM 41.0480.02)] (see p. 46).