On the central limit theorem for non-archimedean Diophantine approximations (Q1780577)

Diese Arbeit schließt eng an diejenige von \textit{K. Inoue} und \textit{H. Nakada} [Acta Arith. 110, 205--218 (2003; Zbl 1049.11073)] an, weshalb die im zugehörigen Referat erklärte Terminologie beibehalten werde. Insbesondere sei \(\mathbb{F}\) ein endlicher Körper mit \(q\) Elementen, \(\mathbb{F}((X^{-1}))\) die Vervollständigung von \(\mathbb{F}(X)\) bezüglich der Gradbewertung; \(m\) sei das normierte Haarsche Maß auf \(\mathbb{L}=\{f\in \mathbb{F}((X^{-1})): \deg f<0\}\). Die Verfasser beschäftigen sich mit dem zentralen Grenzwertsatz für die Anzahl der teilerfremden Lösungen \((P,Q)\in \mathbb{F}[X]^2\) mit \(Q\neq 0\) von \((\ast): |Qf-P|<\psi(\deg Q)\), wobei \(\psi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}\) vorgegeben ist. In der zitierten Arbeit von Inoue und Nakada war gezeigt worden, dass \((\ast)\) für \(m\)-fast alle \(f\in \mathbb{L}\) unendlich viele Lösungen \((P,Q)\) hat genau dann, wenn \((\ast\ast): \sum q^n\psi(n)=\infty\) gilt. Durch Verallgemeinerung der dort eingeführten Beweistechnik zeigen die Verfasser nun, dass ein zentraler Grenzwertsatz unter der Bedingung \((\ast\ast)\) gilt, wenn zusätzlich \(q^n\psi(n)\) monoton fällt. \textit{M. Fuchs} [Finite Fields Appl. 8, 343--368 (2002; Zbl 1013.11034)] hatte dasselbe gezeigt, allerdings unter weiteren Bedingungen an \(q^n\psi(n)\).