Eine Note zur Charakterisierung von Ähnlichkeitsabbildungen. (A note on characterizations of similarities) (Q1822763)

Es seien (V,K,q) ein metrischer Vektorraum, q eine quadratische Form mit \(f_ q\) als zugehöriger Bilinearform, und für zwei Geraden \(g=A+KB\), \(h=C+KD\) sei das q-Maß \(<_ q(g,h):=f_ q(B,D)^ 2/q(B) q(D)\) des Winkels \(\{\) g,h\(\}\) definiert. Eine Kollineation des affinen Raumes A(V,K) heißt Ähnlichkeit, wenn sie Produkt einer Translation und einer bijektiven linearen Abbildung \(\sigma\) von V ist, zu der es \(\lambda \in K^*\) gibt mit \(\sigma (A)=\lambda A\). Es wird gezeigt, daß bei dim V/V\({}^{\perp}\geq 2\) jede Kollineation, die das q- Maß invariant läßt, eine Ähnlichkeit ist. Im Falle \(| K| =4\) muß dabei noch eine zusätzliche Bedingung gefordert werden. Durch Beispiele wird gezeigt, daß jede der Voraussetzungen des Satzes notwendig ist.