Over \(\sum\limits_{n=1}^m \dfrac{1}{n^{2h}}\) en \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{2h}}= \zeta (2h)\). (Q1835050)

Verf. beweist die folgende Rekursionsformel: \[ \begin{multlined} \dfrac{(-1)^h\pi^{2h}}{(2h+1)!}h + \dfrac{(-1)^{h-1}\pi^{2(h-1)}}{(2h-1)!}\zeta(2) + \cdots\\ +\dfrac{(-1)^{h-p}\pi^{2(h-p)}}{(2h-2p+1)!}\zeta(2p) + \cdots \zeta(2h) = 0; \end{multlined} \] dabei ist \(h\) eine positive ganze Zahl. Der Beweis beruht auf einer Rekursionsformel für die Größen \[ A_{m,k} = \dfrac{(4\pi^2)^k\int\limits_0^{\frac12}x^{2k}\cos^{2m}\pi xdx} {(2k)!\int\limits_0^{\frac12}\cos^{2m}\pi xdx}, \quad (m\geqq 0, \;k\geqq 0), \] nämlich: \[ -A_{n,l} + A_{n-1,l} = \dfrac{A_{n,l-1}}{n^2}. \] Zum Schluß der Arbeit werden aus dem genannten Resultate die bekannten Formeln \[ \zeta(2p) = (-1)^{p-1} \dfrac{B_{2p}(2\pi)^{2p}}{2(2p)!} \] abgeleitet (dabei sind die \(B_{2p}\) die \textit{Bernoulli}schen Zahlen).