A conditional functional equation connected with the de Sitter plane (Q1895180)

Dans une domaine Sitter [cf. \textit{W. Benz}, Real geometries (1994; Zbl 0819.51002)] on démontre le théorème: Si \(\varphi\) est une bijection en \(\mathbb{R}\), avec \(\varphi (0) = 0\) et que pour \(\omega, \delta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), on a \(\varphi (x) + \varphi (y) = \omega (x + y)\), \(\text{sgn} (\varphi (x) - \varphi (y)) = \delta (x + y)\) \(\forall x,y \in R\), \(x > y\), alors il y a une constante \(k \neq 0\), avec la quelle \(\delta (x) = \text{sgn} k\) et \(\varphi (x) = \omega (x) = kx\), pour tout \(x \in R\).