Harmonic partitions with side conditions (Q2341522)

Summary: Eine Zerlegung \(n = a_1 + a_2 + \cdots + a_t\) einer natürlichen Zahl n in positive ganze Summanden heisst Partition. Üblicherweise betrachtet man dabei Partitionen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge der Summanden. Partitionen spielen in der Kombinatorik und in der Zahlentheorie eine bedeutende Rolle. Die Anzahl \(p(n)\) solcher Partitionen wächst schnell: Auf Hardy und Ramanujan geht die asymptotische Formel \(p(n) \sim \frac{exp(\pi \sqrt{2n/3})}{4n\sqrt{3}}\) zurück. Oftmals ist man jedoch nur an Partitionen mit zusätzlichen Eigenschaften interessiert. So betrachten die Autoren der vorliegenden Arbeit harmonische Partitionen, welche sich dadurch auszeichnen, dass die reziproken Summanden sich zu Eins aufaddieren: \(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_t} = 1\). Es ist bekannt, dass jedes \(n \geq 24\) eine harmonische Partition besitzt. Die Autoren zeigen nun, dass man an die Summanden \(a_\tau\) sogar noch weitere Bedingungen stellen kann: Man kann verlangen, dass sie groß oder paarweise verschieden sind oder nur kleine Primteiler haben. Die Beweise sind elementar.