Müntz-type theorem on the segments emerging from the origin (Q2425413)

Bei \(\Lambda:=(\lambda_n)\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}\) mit \(0=:\lambda_0<\lambda_1<\dots\) besagt der Müntzsche Approximationssatz, daß\ \(\text{span}\{z^\lambda \mid \lambda\in\Lambda\}\) genau dann dicht in \(C[0,1]\) ist, wenn \(\sum_{n=1}^\infty \lambda_n^{-1}\) divergiert. Dieser Satz erfährt hier eine Verallgemeinerung, zu deren Formulierung folgendes vorausgeschickt sei. Bei \(\ell,p\in \mathbb{Z}\) mit \(1\leq\ell\leq p\) bezeichne \(H(\ell,p)\) die Menge aller Teilmengen \(\{m_0,\dots,m_{\ell-1}\}\) von \(P:=\{0,1,\dots,p-1\}\) derart, daß jede \(\ell\)-reihige quadratische Untermatrix der Matrix \((\omega^{jm_{k-1}})_{(j,k)\in P\times\{1,\dots,\ell\}}\) regulär ist, wobei \(\omega:=e^{2\pi i/p}\) gesetzt ist. Verff. beweisen nun für \(\Lambda, \ell,p,H(\ell,p)\) wie oben: Bei \(a_0,\dots,a_{\ell-1}\in\mathbb{R}_+\) und \(\{m_0,\dots,m_{\ell-1}\} \in H(\ell,p)\) bezeichne \(\Gamma:=\Gamma(\underline{m},\underline{a}):= \bigcap_{j=0}^{\ell-1} \{r\omega^{m_j}\mid 0\leq r\leq a_j\}\); dann gilt: \(\text{span}\{z^\lambda \mid \lambda\in\Lambda\}\) ist genau dann dicht in \(C[\Gamma]\), wenn die Doppelsumme \(\sum_{q\in Q}\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}, \lambda\equiv q \,(\text{mod} p)} \lambda^{-1}\) für jede aus \(p-\ell+1\) Elementen von \(P\) bestehende Teilmenge \(Q\) divergiert. Durch Kombination dieses Ergebnisses mit einer Methode von \textit{A. Pinkus} [Surveys Approx. Theory 1, 1--45 (2005; Zbl 1067.41003)] wird die Dichte (in \(C[\Lambda]\)) des von einer gewissen Familie ganzer Funktionen aufgespannten Vektorraums charakterisiert.