\(p\)-adic transcendence and \(p\)-adic transcendence measures for the values of Mahler type functions (Q2431906)

Es sei \(K\) ein algebraischer Zahlkörper, eingebettet in \(\mathbb{C}_p\), die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses des Henselschen Körpers \(\mathbb{Q}_p\) der \(p\)-adischen Zahlen. Es seien \(Q_0,\dots,Q_{n_0}\in K[z,u]\) teilerfremd und \(Q_0\neq 0\). Dann gibt es \(g_0,\dots,g_{n_0}\in K[z,u]\) und \(g\in K[z]\setminus\{0\}\), so dass \(g(z)= \sum_{i=0}^{n_0} g_i(z,u)Q_i(z,u)\) gilt. Sei nun \(f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k \in K[[z]]\) in \(|z|_p<R, \,R>0\) analytisch und über \(\mathbb{C}_p(z)\) transzendent; weiter genüge \(f\) einer Mahlerschen Funktional\-gleichung des Typs \(\sum_{i=0}^{n_0} Q_i(z,f(z))f(z^\rho)^{n_0-i}=0\) mit ganzrationalen \(n_0\geq 1, \rho\geq 2\), für die \(\rho^2>n_0^2 \max\{\rho,m_0\}\) mit \(m_0:= \max_{0\leq i\leq n_0}\deg_uQ_i\) gilt. Dann lautet das erste Hauptresultat des Verf.: Ist \(\alpha \in \mathbb{C}_p^\times\) über \(\mathbb{Q}\) algebraisch und genügt \(|\alpha|_p<\min\{1,R\}\) sowie \(g(\alpha^{\rho^k})\neq 0\) für alle \(k\geq 0\), so ist \(f(\alpha)\) transzendent über \(\mathbb{Q}\). Dies ist die \(p\)-adische Übertragung von Theorem 1.5.1 aus \textit{K. Nishioka} [Mahler functions and transcendence, Lect. Notes Math. 1631, Springer: Berlin etc. (1996; Zbl 0876.11034)]. Das zweite Ergebnis ist eine quantitative \(p\)-adische Transzendenzaussage über Lösungen \(f\) Mahlerscher Funktionalgleichungen des Typs \[ f(z^\rho)= Q_1(z,f(z))/Q_2(z,f(z)), \] wie sie im komplexen Fall von \textit{K. Nishioka} und \textit{T. Töpfer} [Arch. Math. 57, 370--378 (1991; Zbl 0704.11014)] angegeben wurde. Das Resultat des Verf. umfasst insbesondere das frühere, sich auf in \(f(z)\) lineare \(Q_1,Q_2\) beziehende \(p\)-adische Ergebnis von \textit{S. M. Molchanov} [Mosc. Univ. Math. Bull. 38, No. 2, 36--43 (1983; Zbl 0529.10035)].