Ergodic actions on nilmanifolds and restriction of unitary representations to lattices (Q2743676)

Sei \(\Gamma\) ein Gitter in einer nilpotenten einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe \(G\). Bekanntlich definiert das Gitter \(\Gamma\) eine rationale Struktur auf der Lie-Algebra \({\mathfrak g}\) von \(G\). (Eine rationale Struktur auf \({\mathfrak g}\) ist eine Lie-Algebra \({\mathfrak g}_\mathbb{Q}\) über \(\mathbb{Q}\) mit \({\mathfrak g}\cong{\mathfrak g}_\mathbb{Q} \otimes\mathbb{R}.)\) Eine Lie-Unteralgebra von \({\mathfrak g}\) heißt total irrational, wenn sie in keiner echten rationalen Lie-Unteralgebra von \({\mathfrak g}\) enthalten ist. Sei \(H\) eine zusammenhängende Lie-Untergruppe von \(G\) und sei \({\mathfrak h}\) die zugehörige Lie-Unteralgebra von \({\mathfrak g}\). Die Autoren betrachten die natürliche Wirkung von \(H\) auf dem homogenen Raum \(\Gamma\setminus G\) und beweisen als Hauptergebnis, daß diese Wirkung genau dann ergodisch ist, wenn \({\mathfrak h}\) total irrational ist. Als wichtiges Hilfsmittel wird ein Resultat von \textit{C. C. Moore} [Ann. Math. (2) 82, 146--182 (1982; Zbl 0139.30702)] über eine Charakterisierung der in der quasiregulären Darstellung \(\text{Ind}_\Gamma^G1\) auftretenden irreduziblen Darstellungen verwendet. Die hier behandelte Thematik ist auch für die Darstellungstheorie interessant: Sei \({\mathfrak g}*\ni \ell\mapsto \pi_\ell \in \widehat G\) die Kirillov-Abbildung. Die Autoren stellen eine Verbindung her zu einer früheren Arbeit [J. Funct. Anal. 168, 514--528 (1999; Zbl 0947.22006)], in der sie gezeigt hatten, daß die Einschränkung \(\pi_\ell |_\Gamma\) genau dann irreduzibel ist, wenn das Radikal von \(\ell\) in \({\mathfrak g}\) total irrational ist. Unter Verwendung von Ergebnissen dieser Arbeit können sie folgern, daß \(H\) genau dann auf \(\Gamma\setminus G\) ergodisch wirkt, wenn \(H\) auf dem der Nilmannigfaltigkeit \(\Gamma\setminus G\) assoziierten Torus \(\Gamma[G,G] \setminus G\) ergodisch wirkt.