Non-homeomorphic nilmanifolds with identical unitary spectrum (Q676200)

Zwei kokompakte diskrete Untergruppen \(\Gamma_1\) und \(\Gamma_2\) einer Lie-Gruppe \(G\) heißen darstellungsäquivalent, wenn die zugehörigen quasi-regulären Darstellungen von \(G\) in \(L^2 (\Gamma_1 \backslash G)\) bzw. \(L^2 (\Gamma_2 \backslash G)\) unitär-äquivalent sind. \textit{R. Gornet} hat in [ibid. 119, 121-137 (1994; Zbl 0830.22007)] eine nilpotente Lie-Gruppe \(G\) der Klasse 3 gefunden, welche zwei diskrete kokompakte Untergruppen \(\Gamma_1\) und \(\Gamma_2\) enthält, die zwar darstellungsäquivalent, aber nicht zueinander isomorph sind. In der vorliegenden Arbeit wird dieses Ergebnis dahingehend verallgemeinert, daß eine nilpotente Lie-Gruppe \(G\) der Klasse 3, deren sämtliche koadjungierten Bahnen flach sind und deren Lie-Algebra rationale Strukturkonstanten besitzt, stets zwei nicht-isomorphe darstellungsäquivalente diskrete kokompakte Untergruppen \(\Gamma_1\) und \(\Gamma_2\) enthält. Als wesentliches Hilfsmittel dient dem Autor dabei eine Charakterisierung der in der quasi-regulären Darstellung vorkommenden irreduziblen Darstellungen durch gewisse ``Rationalitätseigenschaften'' von Punkten in den zugehörigen koadjungierten Bahnen. Am Beispiel der 4-dimensionalen nilpotenten Lie-Gruppe der Klasse 3 (die nicht-flache koadjungierte Bahnen besitzt) demonstriert der Autor die Bedeutung der Voraussetzung der Flachheit der koadjungierten Bahnen für sein Resultat.