On the geometry of Hermitian matrices of order three over finite fields (Q5952150)

Es sei \({\mathcal H}_3 (q^2)\) die Menge der hermiteschen \((3\times 3)\)-Matrizen mit Einträgen aus dem Galoisfeld \(GF (q^2)\) und \(PG(8,q)\) der zugehörige projektive Raum über dem Körper \(GF(q)\). Mit \({\mathcal M}_7^3\) bezeichnen die Verfasser die kubische Hyperfläche in \(PG(8,q)\), die von den Matrizen des Ranges 2 aus \({\mathcal H}_3 (q^2)\) herrührt. Die singulären Punkte von \({\mathcal M}_7^3\) bilden eine Varietät \({\mathcal H}\) vom Grad \((q+1)^4\). NEWLINENEWLINENEWLINEDie Verfasser zeigen, dass die Sekantenvarietät von \({\mathcal H}\) gerade \({\mathcal M}_7^3\) ist. Die Varietät \({\mathcal H}\) hat \(q^4+q+1\) Punkte in \(PG(8,q)\) und besitzt die Gruppe \(PGL (3,q^2)\) als eine Untergruppe der Gruppe projektiver Automorphismen. \({\mathcal H}\) ist eine Kappe in \(PG(8,q)\), d.h., sie wird von jeder Geraden dieses projektiven Raumes in höchstens zwei Punkten geschnitten. Außerdem ist sie eine Vereinigung elliptischer Quadriken, von denen je zwei verschiedene genau einen Punkt gemeinsam haben. Die Verfasser definieren eine birationale Einbettung der projektiven Ebene \(PG(2,q^2)\) in den achtdimensionalen projektiven Raum, so dass das Bild der Punktmenge von \(PG(2,q^2)\) gerade \({\mathcal H}\) ist und jede in \({\mathcal H}\) enthaltene elliptische Quadrik von einer Geraden von \(PG(2,q^2)\) herrührt.NEWLINENEWLINENEWLINEIm letzten Abschnitt der Arbeit wird gezeigt, dass man einen Singer-Zyklus von \(PG(2,q^2)\) zu einer Kollineation von \(PG(8,q)\) liften kann. Dies wird dann dazu benutzt, um neue gemischte Partitionen von \(PG(8,q)\) in Kappen und lineare Unterräume zu konstruieren.