Lower estimate of the isoperimetric deficit of convex domains in \(\mathbb{R}^ n\) in terms of asymmetry (Q685211)

Verf. nennt die Größe \(\Delta(D) := {S(D)\over S(B_ D)} -1\) für eine beschränkte meßbare Menge \(D \subset R^ n\) (\(S(D)\) bzw. \(S(B_ D) =\) Oberfläche von \(D\) bzw. von eine zu \(D\) volumgleichen Kugel \(B_ D\)) ``isoperimetrisches Defizit'' von \(D\) und beweist in Verallgemeinerung eines schon für \(n = 2\) bekannten Resultats [\textit{R. R. Hall, W. K. Hayman} and \textit{A. W. Weitsman}, J. Anal. Math. 56, 87- 123 (1991; Zbl 0747.31004)] für einen konvexen Körper \(D\) die Stabilitätsungleichungen \(\Delta(D) \geq c_ n(\beta(D))^ 2 \geq c_ n(\alpha(D))^ 2\). Hierbei bedeuten \(\alpha(D) := \min_{x \in R^ n} {V(D \setminus B(x,v))\over V(D)}\) und \(\beta(D) := {V(D\setminus B(b,v))\over V(D)}\) Asymmetriemaße für \(D\) (\(V\) = Volumen, \(B(x,v) =\) Kugel um \(x\) vom ``Volumenradius'' \(v := \bigl( {V(D)\over \omega_ n}\bigr)^{1/n}\), \(b = \) Schwerpunkt von \(D\)) in Analogie der vom Verf. früher eingeführten ``sphärischen Abweichung'' \(d(D) :=\) Hausdorffabstand \(d(D,B(b,v))\) im Fall \(v = 1\). Die angegebenen Stabilitätsungleichungen werden ungültig, wenn nichtkonvexe Mengen \(D\) zugelassen werden; außerdem wird noch auf Abhängigkeiten zwischen \(d(D)\) und \(\alpha(D)\), \(\beta(D)\) hingewiesen.