Line systems with special properties (Q686731)

Es bezeichne \(\overrightarrow{OP} = P(u,v)\), \(\overrightarrow{OM} = M(u,v)\), \(\vec{e}_ 3(u,v)\) die Mittenfläche, die Mittenhüllfläche und den Richtungsvektor eines Strahlensystems des dreidimensionalen euklidischen Raumes. Ref. hat in [Sitzungsber., Abt. II, Österr. Akad. Wiss., Math.-Naturwiss. Kl. 198, No. 4-7, 267-279 (1989; Zbl 0707.53012)] die invariante quadratische Differentialform III:\(=(dP,dM,\vec{e}_ 3)\) eingeführt. In der vorliegenden Arbeit leiten die Verfasser interessante Resultate her, insbesondere über Nabelgeraden des Strahlensystems, also über Geraden, für die das Verhältnis III:\ \((d\vec{e}_ 3)^ 2\) unbestimmt wird. Es wird gezeigt: Besteht ein Strahlensystem aus lauter Nabelgeraden, so gilt \(H^ 2k - h^ 2K \equiv 0\); hierin sind \(H\), \(h\) die mittleren Krümmungen der Mittenhüllfläche und des Strahlensystems, und \(K\), \(k\) die Krümmungen. Es wird ferner gezeigt: Die Torsen eines hyperbolischen Strahlensystems \(\Sigma\) und die Asymptotenlinien der Mittenhüllfläche \(M\) haben dasselbe sphärische Bild, genau dann, wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten: a) Die \(S\)-Hauptflächen von \(\Sigma\) und die Krümmungslinien von \(M\) haben dasselbe sphärische Bild. b) An jeder Stelle gilt \(r_ 1: d_ 2-r_ 2: d_ 1 = 0\), wobei \(r_ 1\), \(r_ 2\) die Hauptkrümmungsradien von \(M\) und \(d^{-1}_ 1\), \(d^{-1}_ 2\) die Hauptdralle von \(\Sigma\) sind.