Alle Kurven, für die Viètes Tangentenkonstruktion exakt ist. (All curves for which Viète's tangent construction is exact) (Q753144)

François Viète (1540-1603) hat im 8. Buch seiner Varia responsa (Propositio II) die Tangente an die Archimedische Spirale \(r=c\phi\) als Winkelhalbierende der beiden durch \(\phi\)-h und \(\phi\) bzw. \(\phi\) und \(\phi +h\) bestimmten Sekanten konstruiert. Dieses geometrisch einfache Verfahren aus einer Zeit, in der die Methoden der Differentialrechnung noch nicht entwickelt waren, soll hier für hinreichend glatte ebene Kurven K in Polarkoordinatendarstellung \(r=r(\phi)\) analysiert werden: Ist P ein Punkt der Kurve K mit dem Argument \(\phi\) und dem Polarabstand \(r=r(\phi)>0\) und sind \(P_ i\) die benachbarten Kurvenpunkte mit den Argumenten \(\phi \pm h\), so verstehen wir unter der `Vièteschen Näherungstangente' \(\tau\) (h) durch P an K die äußere Winkelhalbierende des Dreiecks \(P_ -PP_+\). Diese Konstruktion liefert die Tangente \(\tau\) exakt für alle Geraden, die nicht durch den Nullpunkt gehen, für alle Kreise um den Nullpunkt und - etwas weniger trivial - für alle Kreise, die durch den Nullpunkt gehen (aufgrund des Peripheriewinkelsatzes sind die betreffenden Bögen gleich).