Über das asymptotische Verhalten ganzer Funktionen auf nichtzusammenhängenden Mengen (Q760538)

Zum Summierungsproblem und zum Entwicklungsproblem bei asymptotischen Potenzreihen werden vier Sätze bewiesen. Mit dem Satz von Arakelyan wird gezeigt: Zu gegebenen \(c_ n\in {\mathbb{C}}\) gibt es eine ganze Funktion g mit \(g(z)\sim \sum c_ nz^{-n}\) für \(z\to \infty\) auf M, wobei M Union abzählbar vieler Kreisscheiben ist, die sich im Endlichen nicht häufen. Umgekehrt: Ist g eine ganze Funktion der Ordnung \(\rho <\infty\), so gibt es abzählbar viele Kreisscheiben um Punkte \(z_ n\) mit Radien \(r_ n=\exp (-| z_ n|^{\rho +\epsilon}),\) auf denen g(z)\(\sim 0\) für \(z\to \infty\).