On binary quadratic forms (Q768398)

Verf. (vgl., insbes. der Bezeichnungen wegen [Math. Z. 62, 320--329 (1955; Zbl 0064.28602); 66, 228--239 (1956; Zbl 0072.03902)]) benutzt die regelmäßigen Kettenbrüche, um bei der Untersuchung der Eigenschaften von binären quadratischen Formen vollständigere Resultate zu erhalten. Zuerst wird in I der Begriff der Normalform für quadratische Irrationalzahlen eingeführt. \((\sqrt{D}+P)/Q\), wobei \(D > 0\), \(P\) und \(Q\) ganze Zahlen sind und \(D\) kein Quadrat ist, hat die Normalform, wenn \((D - P^2)/Q = Q_{-1}\) eine ganze Zahl ist und wenn \((Q; P; Q_{-1}) = 1\) ist. In II werden folgende Hauptsätze mit Hilfe der regelmäßigen Kettenbrüche bewiesen: Satz 1: Die ganzen Zahlen \(\delta\) und \(-\delta\) \((\delta > 0)\) oder nur eine von ihnen können dann und nur dann in der Gestalt der quadratischen Form \(f(x, y) = \alpha x^2 + 2\beta xy + \gamma y^2\) mit \(\alpha,\beta,\gamma\) ganz, \(\alpha; \beta;\gamma) = 1\), \(D = \beta^2 > 0\) und kein Quadrat, für teilerfremde ganzzahlige Werte der Veränderlichen \(x\) und \(y\) dargestellt werden, wenn \(\delta\) der Nenner der Normalform einer quadratischen Irrationalzahl ist, die äquivalent einer der Wurzeln der Gleichung \(f(\xi,1)\) ist. Satz 2: Wenn die Diophantische Gleichung \(f(x, y) = \alpha x^2 + 2\beta xy + \gamma y^2 = \pm \delta\) unter den gleichen Voraussetzungen über \(\alpha,\beta,\gamma\) wie bei Satz 1 eine Lösung \(x_0/y_0 = (Z_0)\) besitzt, dann hat sie unendlich viele Lösungen und zwar \(x_\nu/y_\nu = (Z_\nu)\) für \(\nu = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots\) mit \(Z_\nu = B A^{\nu - 1}N\); \(Z_{-\nu} = C \underline{A}^{\nu - 1}M\), wobei für jedes ganzzahlige \(\nu\) gilt: \(f(Z_\nu) = (-1)^{m\nu} f(Z_0)\). Satz 3 gibt über die Anzahl der Lösungssysteme der Diophantischen Gleichung \(f(x, y) = \alpha x^2 + 2\beta xy + \gamma y^2 = \pm \delta\) Aufschluß. Die Anzahl der Lösungssysteme ist durch die Zahl der Wurzelpaare \(p, -p\) der Kongruenz \(p^2\equiv D\pmod \delta\) bestimmt, die die Eigenschaft besitzen, daß die quadratische Irrationalzahl \(\omega = (\sqrt{D} + p)/q\) mit \(q = \vert (D - p^2)/\delta\) einer der Wurzeln \(\xi\) oder \(\eta\) der Gleichung \(f(\xi,1) = D\) äquivalent ist. Diese Lösungssysteme werden schließlich mit den Kettenbruchentwicklungen von \(\xi\), \(\eta\) und \(\omega\) in Beziehung gebracht. In III werden dann noch die speziellen Diophantischen. Gleichungen \(f(x, y) = \alpha x^2 + 2\beta xy + \gamma y^2 = \pm 1\) und \(f(x, y) = \alpha x^2 + 2\beta xy + \gamma y^2 = \pm 2\) untersucht, wobei bei letzterer die Fälle gerader und ungerader Diskriminante gesondert betrachtet werden.