Die Methode der Grenzschichtverbesserung für eine Klasse entarteter gewöhnlicher Differentialgleichungen (Q788165)

\textit{M. I. Vishik} und \textit{L. A. Lyusternik} haben die Methode der Grenzschichtverbesserung zur asymptotischen Lösung von Randwertaufgaben für lineare Differentialgleichungen mit einem kleinen Parameter bei den höchsten Ableitungen entwickelt [Usp. Mat. Nauk 12, No.5(77), 3-122 (1957; Zbl 0087.296)]. Dabei wird die Ausgangsaufgabe in mehrere einfachere Randwertaufgaben aufgespalten; aus den Lösungen dieser Randwertaufgaben läßt sich für kleine Parameterwerte eine Näherungslösung des Ausgangsproblems gewinnen. Verf. betrachtet in der vorliegenden Arbeit eine Modifizierung der genannten Methode für eine Klasse von Differentialgleichungen, bei denen die Koeffizienten des Hauptteiles auf einem Randteil Nullstellen besitzen. Im reellen Hilbertraum \(L^ 2(0,T)\) wird betrachtet \(A^{\epsilon}u=e^{\beta}A_{2m}u+A_{2m-(\ell +1)}u=f\) wobei die Operatoren \(A_{2m}\) und \(A_{2m-(\ell +1)}\) die Gestalt \[ A_{2m}=(- 1)^ m\{(x(d)/(dx)^{\ell}+a_{2m-1}(x)(x(d)/(dx))^{\ell - 1}+...+a_{2m-1}(x)\}\cdot(d^{2m})/(dx^{2m-1}) \] bzw. \[ A_{2m- (\ell +1)}=\sum^{2m}_{i=\ell +1}a_{2m-1}(x)(d^{2m-i})/(dx^{2m- i}) \] besitzen, \(m\in {\mathbb{N}}\) ist, \(\ell (=\) Ordnung der Nullstelle) eine ungerade Zahl ist mit 1\(\leq \ell \leq m\). Die \(a_ k\), \(k=0(1)2m-1\) seien reellwertig und hinreichend glatt auf [0,T] und es sei \(0<\epsilon<<1\) sowie \(\beta>0\).