Zum Beweis von C. F. Gauss für die Irreduzibilität des p-ten Kreisteilungspolynoms (Q796510)

Sommaire de l'auteur: ''Dans l'article 341 des Disquisitiones Arithmeticae C. F. Gauss montre l'irréductibilité du polynôme cyclotomique \(h_ p(x)=x^{p-1}+....+x+1\) (p premier impair) sur le corps des nombres rationnels. La démonstration consiste en quatre parties. Cependant, en observant simplement que si z est racine d'un polynôme réel alors le nombre conjugué \(\bar z\) l'est aussi, la démonstration peut être réduite à la première partie. On discutera l'hypothèse qu'au fond Gauss a visé l'irréductibilité de \(h_ p(x)\) sur un corps K plus large et non nécessairement réel. En considérant l'exemple \(K=Q(i)\) on montrera que sous cet aspect la démonstration de Gauss paraît très naturelle.''