An asymptotic relation for the zeros of Bessel functions (Q800544)

Mit Hilfe der Nullstellen der reellwertigen Zylinderfunktion: \(C_{\nu}(z)=\cos \alpha\quad J_{\nu}(z)-\sin \alpha\quad Y_{\nu}(z)\) mit \(\alpha =:k-\kappa (k\in {\mathbb{N}},\kappa\in {\mathbb{R}}^+,0\leq\alpha <\pi)\) wird eine Funktion \(j_{\nu\kappa }\) für \(\kappa\in {\mathbb{R}}^+\) wie folgt in jedem halboffenen Intervall \(k- 1<\kappa\leq k\) eingeführt: Für \(\kappa =k\) sei \(j_{\nu\kappa }\) die k-te Nullstelle von \(J_{\nu}(z)\), für \(k-1<\kappa <k\) die k-te positive Nullstelle von \(C_{\nu}(z)\); ferner sei \(\iota (x):=\lim_{\kappa\to \infty}j_{\kappa x,\kappa}/\kappa\) für \(x>-1\). Es werden Eigenschaften der Funktion \(\iota\) (x) untersucht, ihr asymptotisches Verhalten für \(x\to\infty \) angegeben und die Ungleichung \(j_{\nu\kappa }<\kappa\iota (\nu /\kappa)\) hergeleitet.